Question

14．如圖，已知ABCD是邊長為2的正方形，EA⊥平面ABCD，F(xiàn)C∥EA，設(shè)EA=1，F(xiàn)C=2．
（1）證明：EF⊥BD；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由地面ABCD是正方形，可得BD⊥AC，又EA⊥平面ABCD，可得BD⊥EA，然后利用線面垂直的判定得BD⊥平面EACF，最后可得EF⊥BD；
（2）把多面體ABCDEF的體積轉(zhuǎn)化為2倍的棱錐B-ACFE的體積求解．

解答 （1）證明：∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵EA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥EA，
∵EA、AC?平面EACF，EA∩AC=A，
∴BD⊥平面EACF，
又∵EF?平面EACF，
∴EF⊥BD；
（2）解：∵ABCD是邊長為2的正方形，
∴AC=$2\sqrt{2}$，
又EA=1，F(xiàn)C=2，
∴${S}_{ACEF}=\frac{1}{2}（1+2）•2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$，
∴${V_{ABCDEF}}=2{V_{B-ACEF}}=2×\frac{1}{3}×{S_{ACEF}}×\frac{BD}{2}=4$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查了多面體體積的求法，訓(xùn)練了等積法，是中檔題．