Question

7．在三棱錐C-ABD中，△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點，AB=4，二面角A-BD-C的大小為$\frac{π}{6}$并給出下面結論：
（1）AC⊥BD；  （2）AD⊥CO；  （3）△AOC為正三角形； （4）cos∠ADC=$\frac{3}{4}$；
（5）四面體ABCD的外接球表面積為32π，
其中真命題個數是（1）（5）．

Answer 1

分析 根據等腰直角三角形的性質得OA⊥BD，OC⊥BD，且OC=OA=OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，結合線面垂直的判定定理，球的表面積公式得出（1）、（5）正確；
由余弦定理求出cos∠ADC的值判斷（4）錯誤；
根據二面角與線面垂直的判斷與性質判斷（2）（3）錯誤．

解答 解：如圖所示，
三棱錐C-ABD中，△ABD與△CBD是全等的等腰直角三角形，O為斜邊BD的中點，AB=4，二面角A-BD-C的大小為$\frac{π}{6}$；
AO⊥BD，CO⊥BD，且AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，
又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，（1）正確；
若AD⊥CO，又BD⊥CO，且AD∩CD=D，∴CO⊥平面ABD，
∴二面角A-BD-C的平面角為$\frac{π}{2}$，這與已知為$\frac{π}{6}$矛盾，
∴假設不成立，（2）錯誤；
∵∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，且∠AOC=$\frac{π}{6}$，
∴△AOC不是正三角形，（3）錯誤；
由AB=4得，AD=CD=4，且OC=OA=2$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{{（2\sqrt{2}）}^{2}{+（2\sqrt{2}）}^{2}-2×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}cos\frac{π}{6}}$=$\sqrt{16-8\sqrt{3}}$
∴cos∠ADC=$\frac{{4}^{2}{+4}^{2}-（16-8\sqrt{3}）}{2×4×4}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，∴（4）不正確；
由OA=OB=OC=OD得，四面體ABCD的外接球的球心是O，且半徑r=OA=2$\sqrt{2}$，
∴四面體ABCD的外接球面積為S=4π•${（2\sqrt{2}）}^{2}$=32π，∴（5）正確．
綜上，正確的命題是（1）（5）．
故答案為：（1）（5）．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質、線面垂直的判定定理、二面角的定義、余弦定理和四面體的外接球的求半徑與表面積的應用問題，是綜合性題目．