Question

17．設(shè)函數(shù)$f（x）=2cos（\frac{π}{3}-\frac{x}{2}）$，
（1）求f（x）的周期；
（2）當(dāng)x∈[-π，π]時(shí)，求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的周期性，求得f（x）的周期．
（2）由條件利用余弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的增區(qū)間．
（3）由條件利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=2cos（\frac{π}{3}-\frac{x}{2}）$=2cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$），故它的周期為$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π．
（2）令 2kπ-π≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，故函數(shù)的增區(qū)間為[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
根據(jù) x∈[-π，π]，可得函數(shù)的增區(qū)間為[-π，$\frac{2π}{3}$]．
（3）當(dāng)x∈[0，2π]時(shí)，$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故當(dāng)$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為-1，當(dāng)$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式，余弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．