Question

10．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，e為雙曲線的離心率，P是雙曲線右支上的點，△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心為I，過F₂作直線PI的垂線，垂足為B，則點B的軌跡是（　　）

• A． 橢圓
• B． 圓
• C． 拋物線
• D． 雙曲線

Answer 1

分析 根據(jù)題意，利用切線長定理，再利用雙曲線的定義，把|PF₁|-|PF₂|=2a，轉(zhuǎn)化為|AF₁|-|AF₂|=2a，從而求得點H的橫坐標(biāo)．再在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個等腰三角形，從而在三角形F₁CF₂中，利用中位線定理得出OB，即可得到結(jié)論．．

解答 解：F₁（-c，0）、F₂（c，0），內(nèi)切圓與x軸的切點是點A，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，及圓的切線長定理知，
|AF₁|-|AF₂|=2a，設(shè)內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為x，
則|（x+c）-（c-x）|=2a
∴x=a；
|OA|=a，
在△PCF₂中，由題意得，F(xiàn)₂B⊥PI于B，延長交F₁F₂于點C，利用△PCB≌△PF₂B，可知PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
OB=$\frac{1}{2}$CF₁=$\frac{1}{2}$（PF₁-PC）=$\frac{1}{2}$（PF₁-PF₂）=$\frac{1}{2}$×2a=a．
即點B的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為a的圓，
故選：B．

點評 本題考查點的軌跡的判斷，根據(jù)雙曲線的定義、切線長定理．解答的關(guān)鍵是充分利用平面幾何的性質(zhì)，如三角形內(nèi)心的性質(zhì)等．考查學(xué)生的運算和推理能力．