Question

9．已知奇函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a，b，c，d∈R），滿足f（1）=1，若對任意的x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，4]．

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)得出b=d=0，對a進(jìn)行討論，利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性得出最值，根據(jù)f_max（x）≤1解出a的范圍．

解答 解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），即-ax³+bx²-cx+d=-ax^3-bx²-cx-d，
∴b=d=0．
∵f（1）=a+c=1，∴c=1-a．∴f（x）=ax³+（1-a）x．
∵f（x）是奇函數(shù)，且對任意的x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，
∴f_max（x）≤1，
f′（x）=3ax²+1-a，
（1）若a=0，則f（x）=x在[-1，1]上是增函數(shù)，∴f_max（x）=1，顯然符合題意；
（2）若0＜a≤1，則f′（x）≥0，∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，∴f_max（x）=f（1）=1，符合題意；
（3）若a＞1，令f′（x）=0得x=±$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，
∵$\frac{a-1}{3a}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3a}$$＜\frac{1}{3}$，
∴f（x）在[-1，-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$]上單調(diào)遞增，則（-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，1]上單調(diào)遞增．
∵f（1）=1，∴f（-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$）≤1，即$\frac{2}{3}$（a-1）$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$≤1，解得1＜a≤4．
（4）若a＜0，令f′（x）=0得x=±$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，
①若$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$＜1，即a＜-$\frac{1}{2}$，則f（x）在[-1，-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$]上單調(diào)遞減，則（-$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$）上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$，1]上單調(diào)遞減．
∵f（1）=1，∴f_max（x）＞f（1）=1，不符合題意．
②若$\sqrt{\frac{a-1}{3a}}$≥1，即a≥-$\frac{1}{2}$，則f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，則f_max（x）=f（1）=1，符合題意；
綜上，a的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，4]．
故答案為[-$\frac{1}{2}$，4]．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．