Question

19．已知函數(shù)f（x）=xe^x+ax²-2x，a∈R．
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對x≥0時，恒有f′（x）-f（x）≥（4a+2）x-1成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-1時，由f′（x）=（x+1）（e^x-2）＞0可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，由f′（x）＜0可求得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）設(shè)g（x）=f′（x）-f（x）-（4a+2）x+1，利用導(dǎo)數(shù)可求得g′（x）=e^x-2ax-2a，構(gòu)造函數(shù)u（x）=g′（x），分2a≤1與2a＞1兩種情況討論，即可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=xe^x-x²-2x，
f′（x）=（x+1）e^x-2（x+1）=（x+1）（e^x-2），
當(dāng)x＞ln2或x＜-1時，f′（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜ln2時，f′（x）＜0；
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（ln2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，ln2）；
（2）設(shè)g（x）=f′（x）-f（x）-（4a+2）x+1=e^x-ax²-2ax-1，
g′（x）=e^x-2ax-2a=u（x），
u′（x）=e^x-2a，
x≥0 時，e^x≥1．
①當(dāng)2a≤1，即a≤$\frac{1}{2}$時，令u′（x）≥0，
g′（x）=e^x-2ax-2a在[0，+∞）上是單調(diào)遞增的，g′（x）≥1-2a≥0，
g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）≥g（0）=0恒成立；
②當(dāng)2a＞1即a＞$\frac{1}{2}$時，令u′（x）=0，則x=ln2a；
當(dāng)x∈[0，ln2a]時，u′（x）＜0，
g′（x）=e^x-2ax-2a在[0，ln2a）上是單調(diào)遞減，
所以g′（x）≤g′（0）=1-2a＜0，
所以g（x）在[0，ln2a]上單調(diào)遞減，
所以g（x）≤g（0）=0這與g（x）≥0恒成立矛盾．
綜上，a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想，考查綜合運算、求解能力，是難題．