Question

14．如圖，在圓錐PO中，已知PO=$\sqrt{2}$，⊙O的直徑AB=2，C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，則二面角B-PA-C的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{15}}{5}$
• D． $\sqrt{15}$

Answer 1

分析 以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-PA-C的余弦值．

解答 解：∵在圓錐PO中，PO=$\sqrt{2}$，⊙O的直徑AB=2，C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴PO⊥平面ABC，AB=BC=$\sqrt{2}$，OC=OA=OB=1，OC⊥AB，
以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（-1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{PA}$=（-1，0，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-$\sqrt{2}$），
設(shè)平面PAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-x-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{2}，\sqrt{2}，1$），
平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)二面角B-PA-C的平面解為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴二面角B-PA-C的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．