Question

4．若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)某區(qū)間I上是增函數(shù)，而F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在I上是減函數(shù)，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數(shù)”．
（1）請(qǐng)分別判斷f（x）=x+4，g（x）=x²+4x+2在x∈（1，2）是否是“弱增函數(shù)”，
并簡要說明理由；
（2）若函數(shù)h（x）=x²+（sinθ-$\frac{1}{2}$）x+b（θ、b是常數(shù)）
（i）若θ∈[{0，$\frac{π}{2}}$]，x∈[0，$\frac{1}{4}}$]求h（x）的最小值．（用θ、b表示）；
（ii）在x∈（0，1]上是“弱增函數(shù)”，試探討θ及正數(shù)b應(yīng)滿足的條件，并用單調(diào)性的定義證明．．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)“弱增函數(shù)”的定義逐個(gè)判斷即可；
（2）（i）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論θ的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（ii）由于h（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”，所以h（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，$\frac{h（x）}{x}$在（0，1]上單調(diào)遞減，由此可求出θ及正數(shù)b滿足的條件．

解答 解：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函數(shù)，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=1+$\frac{4}{x}$在（1，2）上是減函數(shù)，
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函數(shù)”；
g（x）=x²+4x+2在（1，2）上是增函數(shù)，但$\frac{g（x）}{x}$=x+4+$\frac{2}{x}$在（1，2）上不單調(diào)，
所以g（x）=x²+4x+2在（1，2）上不是“弱增函數(shù)”．
（2）（i）h（x）=x²+（sinθ-$\frac{1}{2}$）x+b，
h′（x）=2x+sinθ-$\frac{1}{2}$，θ∈[0，$\frac{π}{2}}$]，x∈[0，$\frac{1}{4}}$]，
令h′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
0≤θ≤$\frac{π}{6}$時(shí)，$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{1}{4}$≤0，
∴h（x）在[0，$\frac{1}{4}$]遞增，h（x）_min=h（0）=b，
$\frac{π}{6}$＜θ≤$\frac{π}{2}$時(shí)，h（x）在[0，$\frac{1}{2}$sinθ）遞減，在（$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]遞增，
h（x）_min=h（$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{1}{4}$）=3${（\frac{1}{2}sinθ-\frac{1}{4}）}^{2}$+b，
綜上h（x）_min=b．
（ii）因?yàn)閔（x）=x²+（sinθ-$\frac{1}{2}$）x+b（θ、b是常數(shù)）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”
所以h（x）=x²+（sinθ-$\frac{1}{2}$）x+b在（0，1]上是增函數(shù)，
且F（x）=$\frac{h（x）}{x}$=x+$\frac{x}$+（sinθ-$\frac{1}{2}$）在（0，1]上是減函數(shù)，
由h（x）=x²+（sinθ-$\frac{1}{2}$）x+b在（0，1]上是增函數(shù)，
得h′（x）≥0即2x+（sinθ-$\frac{1}{2}$）≥0在（0，1]上恒成立，
所以 $\frac{-（sinθ-\frac{1}{2}）}{2}$≤0，得sinθ≥$\frac{1}{2}$，解得θ∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
由F（x）=$\frac{h（x）}{x}$在（0，1]上是減函數(shù)，得F′（x）≤0在（0，1]上恒成立，
即1-$\frac{{x}^{2}}$≤0，b≥x²在（0，1]上恒成立，所以b≥1，
綜上所述，b≥1且θ∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]k∈Z時(shí)，h（x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”．

點(diǎn)評(píng) 本題以新定義的形式考查函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決新問題的能力．