【題目】已知函數(shù)

(I)當(dāng)時(shí),求過點(diǎn)(0,1)且和曲線相切的直線方程;

(2)若函數(shù)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)致的取值范圍.

【答案】(1)(2)

【解析】

(1)討論點(diǎn)是否是切點(diǎn),是切點(diǎn)時(shí),求出在該點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)就是切線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式得切線方程;

不是切點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),建立方程求出切點(diǎn)坐標(biāo),再求出切線方程;

(2)方法一:將整理成,對(duì)求導(dǎo),討論其零點(diǎn)的個(gè)數(shù),就是函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù),注意當(dāng)最小值小于零時(shí),需對(duì)取得最小值的點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)判斷是否有零點(diǎn)的存在,可求出特殊點(diǎn)的函數(shù)值判斷其正負(fù),根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)的存在;

方法二:由可得對(duì)a實(shí)行參變分離方法,構(gòu)造新函數(shù),對(duì)其求導(dǎo)研究此函數(shù)的單調(diào)性和最值,要使函數(shù)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),可得解.

(1)當(dāng)時(shí),,

當(dāng)點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí),所求直線的斜率為,則過點(diǎn)且和曲線相切的直線方程為

當(dāng)點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,

則所求直線的斜率為,所以,①易知

由①②可得

設(shè)

所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

所以有唯一的零點(diǎn),

因?yàn)?/span>,所以方程的根為,即切點(diǎn)坐標(biāo)為,

故所求切線的斜率為,則過點(diǎn)且和曲線相切的直線方程為.

綜上,所求直線的方程為.

(2)解法一:,

因?yàn)?/span>,所以函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的零點(diǎn),

當(dāng)時(shí),沒有零點(diǎn),所以沒有零點(diǎn).

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),

所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

是函數(shù)上的最小值.

當(dāng)上沒有零點(diǎn),即上沒有零點(diǎn);

當(dāng)上只有一個(gè)零點(diǎn),即即上只有一個(gè)零點(diǎn);

當(dāng),即上有一個(gè)零點(diǎn),所以上有一個(gè)零點(diǎn);

對(duì)任意的,都有,即,所以,即,令,則,所以

上有一個(gè)零點(diǎn),

因此上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

綜上,若函數(shù)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

解法二:由可得

則函數(shù)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

所以上的最大值為

因?yàn)?/span>,并且當(dāng)時(shí),

所以當(dāng)時(shí),上的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

即當(dāng)時(shí),函數(shù)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn).

所以,若函數(shù)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

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B.

C.

D.

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