Question

【題目】已知等差數(shù)列{}滿(mǎn)足： ＝2，且成等比數(shù)列.

(1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式.

(2）記為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1）an＝2或an＝4n－2(2）當(dāng)an＝2時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù)n；當(dāng)an＝4n－2時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù)n，其最小值為41.

【解析】試題分析：(1）設(shè)出等差數(shù)列的公差d，由成等比數(shù)列列式求得d，則數(shù)列{an}的通頂公式可求；

(2）把代入，求出n的范圍，由n是負(fù)值，說(shuō)明不存在正整數(shù)n，使得

試題解析：(1）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，依題意得，2，2＋d，2＋4d成等比數(shù)列，

故有(2＋d）2＝2(2＋4d），

化簡(jiǎn)得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.

當(dāng)d＝0時(shí)，an＝2；

當(dāng)d＝4時(shí)，an＝2＋(n－1）·4＝4n－2.

從而得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2或an＝4n－2

(2）當(dāng)an＝2時(shí)，Sn＝2n，顯然2n<60n＋800，

此時(shí)不存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立.

當(dāng)an＝4n－2時(shí)，Sn＝＝2n2.

令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，

解得n>40或n<－10(舍去），

此時(shí)存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值為41.

綜上，當(dāng)an＝2時(shí)，不存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù)n；

當(dāng)an＝4n－2時(shí)，存在滿(mǎn)足題意的正整數(shù)n，其最小值為41.