Question

9．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）與y軸的交點(diǎn)為（0，1），且圖象上兩對稱軸之間的最小距離為$\frac{π}{2}$，則使f（x+t）-f（-x+t）=0成立的|t|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由題意：函數(shù)f（x）與y軸的交點(diǎn)為（0，1），坐標(biāo)帶入求出φ，兩對稱軸之間的最小距離為$\frac{π}{2}$可得周期為π．求得函數(shù)f（x）解析式，再求f（x+t）-f（-x+t）=0討論t最小值．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）與y軸的交點(diǎn)為（0，1），可得：1=2sinφ，sinφ=$\frac{1}{2}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
兩對稱軸之間的最小距離為$\frac{π}{2}$可得周期T=π，即$\frac{2π}{ω}=π$，解得：ω=2．
所以：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由f（x+t）-f（-x+t）=0，
可得：函數(shù)圖象關(guān)于x=t對稱．求|t|的最小值即可是求對稱軸的最小值，
∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的對稱軸方程為：2x+$\frac{π}{6}$=$πk+\frac{π}{2}$（k∈Z），
可得：x=$\frac{π}{6}$時(shí)最小，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運(yùn)用能力．本題的關(guān)鍵是f（x+t）=f（-x+t）可得函數(shù)關(guān)于x=t對稱．