Question

14．如圖（1），在三角形PCD中，AB為其中位線，且2BD=PC，若沿AB將三角形PAB折起，使∠PAD=θ，構(gòu)成四棱錐P-ABCD，且$\frac{PC}{PF}$=$\frac{CD}{CE}$=2．

（1）求證：平面BEF⊥平面PAB；
（2）當異面直線BF與PA所成的角為$\frac{π}{3}$時，求折起的角度θ．

Answer 1

分析 （1）先證明平面BEF∥平面PAD，再證明AB⊥平面PAB，得出AB⊥平面BEF，故而平面BEF⊥平面PAB；
（2）取PD的中點G，連接FG，AG，證明四邊形ABFG是平行四邊形得出AG∥BF，故∠PAG=$\frac{π}{3}$，于是∠PAD=2∠PAG=$\frac{2π}{3}$．

解答 解：（1）∵$\frac{PC}{PF}$=$\frac{CD}{CE}$=2．
∴E，F(xiàn)分別是CD，PC的中點，
∴EF∥PD，
又AB∥CD，CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
∴BE∥AD，
∴平面BEF∥平面PAD．
∵2BD=PC，∴∠ADC=90°，
∴AB⊥PA，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥平面BEF，
又AB?平面PAB，
∴平面BEF⊥平面PAB．
（2）取PD的中點G，連接FG，AG，
則FG∥CD，$FG=\frac{1}{2}CD$，又AB∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，
∴FG∥AB，F(xiàn)G=AB，
∴四邊形ABFG為平行四邊形，
∴BF∥AG，
∴∠PAG即為異面直線BF與PA所成的角，即∠PAG=$\frac{π}{3}$．
∵PA=AD，
∴∠θ=2∠PAG=$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定定理，異面直線所成角的計算，屬于中檔題．