Question

2．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點A₁在側(cè)面BB₁C₁C上的射影為正方形BB₁C₁C的中心M，且BB₁=2$\sqrt{2}$，AB=AC=3，E為A₁C₁的中點．
（1）求證：A₁B∥平面B₁CE；
（2）求二面角B-A₁B₁-C₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)EM，推導(dǎo)出EM∥A₁B，由此能證明A₁B∥平面B₁CE．
（2）以M點為原點，MB為x軸，MB₁為y軸，MA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-A₁B₁-C₁的正弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)EM，
∵正方形BB₁C₁C的中心是M，E為A₁C₁的中點，
∴在△A₁BC₁中，EM∥A₁B，
∵EM?平面B₁CE，A₁B?平面B₁CE，
∴A₁B∥平面B₁CE．
解：（2）以M點為原點，MB為x軸，MB₁為y軸，MA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則M（0，0，0），B（2，0，0），B₁（0，2，0），C₁（-2，0，0），
A₁M=$\sqrt{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}-M{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$，
∴${A}_{1}（0，0，\sqrt{5}）$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，2，-$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（-2，-2，0），
設(shè)平面A₁BB₁的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=2y-\sqrt{5}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，$\frac{2}{\sqrt{5}}$），
設(shè)平面A₁B₁C₁的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=2y-\sqrt{5}z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，令a=-1，得$\overrightarrow{m}$=（-1，1，$\frac{2}{\sqrt{5}}$），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1+1+\frac{4}{5}}{1+1+\frac{4}{5}}$=$\frac{2}{7}$，
設(shè)二面角B-A₁B₁-C₁的平面角為θ，
則sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{7}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{7}$
∴二面角B-A₁B₁-C₁的正弦值為$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．