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15.已知f(x)=x2-3a2,g(x)=(2a+1)x.
(1)若不等式f(x)<g(x)的解集中有且僅有一個整數(shù),求a的取值范圍.
(2)若|f(x)-g(x)|≤4a在x∈[1,4a]恒成立,試確定a的取值范圍.

分析 (1)令h(x)=x2-(2a+1)x-3a2,通過討論a=0,a≠0兩種情況,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),得到不等式組,從而求出a的范圍;
(2)通過討論a的范圍,若14<a≤1,則{|h1|4a|h4a|4a;若a>1,|h(4a)|=|5a2|≤4a,解不等式組,判斷即可得到所求范圍.

解答 解:(1)令h(x)=x2-(2a+1)x-3a2
若a=0,則h(x)=x2-x,令h(x)<0,解得:0<x<1,
∴f(x)<g(x)的解集為(0,1),不滿足條件;
若a≠0,則h(0)<0,
由題意可得{h10h10,即{2a3a202+2a3a20,
{23a0173a1+73,
解得173≤a<0;
(3)令h(x)=f(x)-g(x)=x2-(2a+1)x-3a2,
14<a≤1,h(x)在[1,4a]遞增,則{|h1|4a|h4a|4a,
{|12a3a2|4a|5a2|4a,得14<a≤45,
若a>1,|h(4a)|=|5a2|≤4a不成立.
所以a的取值范圍是(1445].

點評 本題考查二次不等式的解法,考查絕對值不等式恒成立問題的解法,注意運用分類討論的思想方法,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.

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