Question

4．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}={1^{\;}}（{a，b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂的直線與雙曲線C的右支相交于P，Q兩點，若$\overrightarrow{P{F_2}}=3\overrightarrow{{F_2}Q}$，若△PQF₁是以Q為頂角的等腰三角形，則雙曲線的離心率e=（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)|QF₂|=m，則|PF₂|=3m，結(jié)合條件可得m=$\frac{2}{3}$a，|PF₁|=2a+3m=4a，在△PF₁F₂和△QF₁F₂中，分別運用余弦定理建立方程，化簡整理，由離心率公式計算即可得到．

解答 解：設(shè)|QF₂|=m，則|PF₂|=3m，
∵△PQF₁是以Q為頂角的等腰三角形，
∴|QF₁|=4m，
由|QF₁|-|QF₂|=2a，
∴3m=2a，
∴m=$\frac{2}{3}$a，
又|PF₁|=2a+3m=4a，
在△PF₁F₂和△QF₁F₂中，利用余弦定理可得$\frac{\frac{64}{9}{a}^{2}+\frac{4}{9}{a}^{2}-4{c}^{2}}{2×\frac{8}{3}a×\frac{2}{3}a}$=$\frac{\frac{64}{9}{a}^{2}×2-16{a}^{2}}{2×\frac{8}{3}a×\frac{8}{3}a}$=-$\frac{1}{8}$，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選B．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，運用雙曲線的定義和余弦定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題和易錯題．