Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₂=6，且其前n項(xiàng)和S_n=pn²+12n．
（Ⅰ）求p的值和數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）n=1時(shí)，S₁=p+12，n=2時(shí)，a₁+a₂=4p+24，即可求得p的值，由S_n=-2n²+12n，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=-2n²+16n-14，兩式相減即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由通項(xiàng)公式可知1≤n≤3時(shí)，a_n＞0；n≥4時(shí)，a_n＜0．可知1≤n≤3時(shí)，T_n=S_n，當(dāng)n≥4時(shí)，T_n=2S₃-S_n，由此能求出數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，S₁=p+12，
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=4p+24，
∴p+12+6=4p+24，解得：p=-2，
S_n=-2n²+12n，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=-2（n-1）²+12（n-1）=-2n²+16n-14，
兩式相減得：a_n=-4n+14，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=-4n+14；
（Ⅱ）由a_n=-4n+14≥0，得n＜$\frac{7}{2}$，
∴1≤n≤3時(shí)，a_n＞0；n≥4時(shí)，a_n＜0．
∴1≤n≤3時(shí)，T_n=S_n=-2n²+12n，
當(dāng)n≥4時(shí)，T_n=2S₃-S_n=2n²-12n+36．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}+12n}&{n≤3}\\{2{n}^{2}-12n+36}&{n≥4}\end{array}\right.$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題．