Question

設(shè)點(diǎn)A（-

3

，0）B（

3

，0）直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-

2

3

．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡c的方程；
（2）若直線l過點(diǎn)F（1，0）且繞F旋轉(zhuǎn)，l與圓O：x²+y²=5相交于P，Q兩點(diǎn)，l與軌跡c相交于R，S兩點(diǎn)，若|PQ|∈[4，

19

]，求△F′RS的面積的最大值和最小值（F′為軌跡C左焦點(diǎn)）．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,軌跡方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)M（x，y），運(yùn)用正弦的斜率公式，化簡整理，即可得到M的軌跡方程；
（2）設(shè)直線l：x=my+1，運(yùn)用直線和圓相交的弦長公式，求出1≤1+m²≤4，再由直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去x，得到y(tǒng)的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得|y₁-y₂|的最值，再由△F′RS的面積為S=

1

2

×2•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|，即可得到面積的最值．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），則k_AM•k_BM=-

2

3

，
即有

y

x+ 3

•

y

x- 3

=-

2

3

，
化簡得，2x²+3y²=6，
即有動點(diǎn)M的軌跡c的方程為

x2

3

+

y2

2

=1（y≠0）；
（2）設(shè)直線l：x=my+1，
O直線的距離為d=

|1|

1+m2

，
弦長|PQ|=2

5- 1 1+m2

，由于|PQ|∈[4，

19

]，
解得，1≤1+m²≤4，
聯(lián)立直線l和橢圓方程，得（3+2m²）y²+4my-4=0，
令R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
則y₁+y₂=

-4m

3+2m2

，y₁y₂=

-4

3+2m2

，
則|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( -4m 3+2m2 )2+ 16 3+2m2

=4•

3 1+m2

3+2m2

=4

3

•

1

1 1+m2 +2 1+m2

由于1≤

1+m2

≤2，則|y₁-y₂|≥4

3

•

1

1 2 +4

=

8 3

9

，
|y₁-y₂|≤4

3

•

1

1+2

=

4 3

3

，
當(dāng)m=0時，取得最大值

4 3

3

，m=±

3

時，取得最小值

8 3

9

．
則△F′RS的面積為S=

1

2

×2•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|，
即有最大面積為

4 3

3

，最小面積為

8 3

9

．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法，考查直線的斜率公式的運(yùn)用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查運(yùn)用對勾函數(shù)的單調(diào)性求最值的方法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．