Question

19．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年需投入固定成本為3萬元，此外每生產(chǎn)1百件這種產(chǎn)品還需要增加投入1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．已知銷售收入滿足函數(shù)：R（x）=$\left\{\begin{array}{l}-0.2{x^2}+5x，0≤x≤12\\ 26，x＞12\end{array}$其中x（百件）為年產(chǎn)量，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉）．
（1）請把年利潤y表示為當年生產(chǎn)量x的函數(shù)；（利潤=銷售收入-總成本）
（2）當年產(chǎn)量為多少百件時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

分析 （1）利潤函數(shù)y=銷售收入函數(shù)R（x）-成本函數(shù)，x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（產(chǎn)量），代入解析式即可；
（2）由利潤函數(shù)是分段函數(shù)，分別求出最大值，一段利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取最大值時對應的自變量x的值，一段利用函數(shù)的單調(diào)性可求出最值，比較即可．

解答 解：（1）年利潤為：$y=\left\{\begin{array}{l}-0.2{x^2}+4x-3，0≤x≤12\\ 23-x，x＞12.\end{array}\right.$；
（2）當0≤x≤12時，y=-0.2x²+4x-3；
當x=10時，y_max=17（萬元）；
當x＞12時，y=23-x為減函數(shù)，y＜11，
∴x=10百件時，y_max=17（萬元）．
答：當年產(chǎn)量為10百件時，公司所獲利潤最大，最大利潤為17萬元．

點評 本題考查分段函數(shù)的求法和運用：求單調(diào)性和最值，考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于基礎(chǔ)題．