Question

20．定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x）＞0，且$\frac{2f（x）}{x}$＜f′（x）$＜\frac{3f（x）}{x}$（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）恒成立，則（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$$＜\frac{f（2）}{f（4）}$$＜\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}＜\frac{f（2）}{f（4）}$$＜\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{8}$$＜\frac{f（2）}{f（4）}$$＜\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{16}$$＜\frac{f（2）}{f（4）}$$＜\frac{1}{8}$

Answer 1

分析 分別構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$＞0，
∴g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（2）＜g（4），
∴$\frac{f（2）}{4}$＜$\frac{f（4）}{16}$，
∴$\frac{f（2）}{f（4）}$＜$\frac{1}{4}$，
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，x∈（0，+∞），
h′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵?x∈（0，+∞），2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，
∴h′（x）＜0，
∴函數(shù)h（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴h（2）＞h（4），
∴$\frac{f（2）}{8}$＞$\frac{f（4）}{64}$，
∴$\frac{f（2）}{f（4）}$＞$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{1}{8}$＜$\frac{f（2）}{f（4）}$＜$\frac{1}{4}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、構(gòu)造函數(shù)法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．