Question

15．（1）化簡(jiǎn)：[2sin50°+sin10°（1+$\sqrt{3}$tan10°）]$\sqrt{1+cos{20°}}$
（2）求證：$\frac{tan5α+tan3α}{cos2αcos4α}$=4（tan5α-tan3α）．

Answer 1

分析 （1）首先利用關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，主要考察切化弦思想的應(yīng)用，進(jìn)一步通過三角的恒等變換求出結(jié)果．
（2）將正切關(guān)系化為正余弦之比，然后通分，根據(jù)兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)，最后根據(jù)正弦函數(shù)的二倍角公式可得證．

解答 解：（1）[2sin50°+sin10°（1+$\sqrt{3}$tan10°）]$\sqrt{1+cos{20°}}$
=[2sin50°+sin10°（1+$\sqrt{3}$×$\frac{sin10°}{cos10°}$）]$\sqrt{2co{s}^{2}10}$
=（2sin50°+sin10°×$\frac{cos10°+\sqrt{3}sin10°}{cos10°}$）$\sqrt{2}$cos10°
=[2sin50°+sin10°×$\frac{2sin40°}{cos10°}$）•$\sqrt{2}$cos10°
=2$\sqrt{2}$（sin50°cos10°+cos50°sin10°）
=2$\sqrt{2}$sin60°
=$\sqrt{6}$．
（2）證明：$\frac{tan5α+tan3α}{cos2αcos4α}$=4（tan5α-tan3α）．
即證$\frac{\frac{sin5α}{cos5α}+\frac{sin3α}{cos3α}}{cos2αcos4α}$=4（$\frac{sin5α}{cos5α}$-$\frac{tan3α}{cos3α}$）成立，即$\frac{sin5αcos3α+cos5αsin3α}{cos2αcos4α}$=4（sin5αcos3α-cos5αsin3α），
即證$\frac{sin8α}{cos2αcos4α}$=4sin2α成立，
又因?yàn)閟in8α=2sin4αcos4α=4sin2αcos2αcos4α，
所以左邊=$\frac{sin8α}{cos2αcos4α}$=$\frac{4sin2αcos2αcos4α}{cos2αcos4α}$=4sin2α=右邊，
得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換，特殊角的三角函數(shù)的值得應(yīng)用，主要考查學(xué)生的恒等變換能力和應(yīng)用能力．