Question

已知函數f（x）=sin（x-φ）-1（0＜φ＜

π

2

），且

∫

2π 3 0

（f（x）+1）dx=0，則函數f（x）的一個零點是（　　）

• A、

  5π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  π

  6

• D、

  7π

  12

Answer 1

考點：定積分,函數的零點

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：把f（x）=sin（x-φ）-1代入

∫

2π 3 0

（f（x）+1）dx=0，由定積分求得φ，得到函數解析式，再由f（x）=0求得函數f（x）的一個零點．

解答： 解：由f（x）=sin（x-φ）-1且

∫

2π 3 0

（f（x）+1）dx=0，
得

∫

2π 3 0

[sin（x-φ）]dx=0，∴[-cos（x-φ）]

|

2π 3 0

=0．
即-cos(

2π

3

-φ)+cos(-φ)=0，∴sin(φ-

π

3

)=0．
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

3

，
則f（x）=sin（x-

π

3

）-1，
由sin（x-

π

3

）-1=0，解得：x=

5π

6

+2kπ，k∈Z．
取k=0，得x=

5π

6

．
故選：A．

點評：本題考查了定積分，考查了由三角函數值求角，訓練了函數零點的判斷方法，是中檔題．