Question

在正方形ABCD中，E為AB的中點P是A為圓心，AB為半徑的圓弧

BD

上的任意一點．
（1）若向正方形ABCD內撒一枚幸運小花朵，則小花朵落在扇形ABD內的概率為

 

；
（2）設∠PAB=θ，向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

（λ，μ∈R），若μ-λ=1，則θ=

 

．

Answer 1

考點：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用幾何概型，所求概率為扇形ABD與正方形ABCD比值；
（2）不妨設正方形邊長為1以A坐標原點，AB，AD線為x軸，y建立直角坐標系，將相關向量用坐標表示，利用向量相等得到用θ表示的λ，μ的方程組解之．

解答： 解：（1）所求概率為扇形ABD與正方形ABCD比值，設正方形邊長為a，所求概率為P=

1 4 πa2

a2

=

π

4

；
（2）不妨設正方形邊長為1以A坐標原點，AB
AD線為x軸，y建立直角坐標系，則

DE

=（

1

2

，-1），

AC

=（1，1），

AP

=（cosθ，sinθ），

AC

=λ

DE

+μ

AP

，

1 2 λ+μcosθ=1 -λ+μsinθ=1

，所以

λ= 2sinθ-2cosθ sinθ+2cosθ μ= 3 sinθ+2cosθ

，所以μ-λ=1，sinθ=1，θ=

π

2

；
故答案為：

π

4

，

π

2

．

點評：本題是一道涉及幾何概型和向量知識的綜合問題．第（1）題是幾何概型問題，求解轉化為扇形的面積與正方形面積的比來解決；第（2）問是關于平面向量線性運算的考題，解題時可建立適當?shù)淖鴺讼�，用向量的坐標運算來實現(xiàn)轉化．若假設正方形邊長為1，則點P單位圓上，就可以考慮引入三角函數(shù)來表示點P坐