Question

在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)P是A為圓心，AB為半徑的圓弧

BD

上的任意一點(diǎn)．
（1）若向正方形ABCD內(nèi)撒一枚幸運(yùn)小花朵，則小花朵落在扇形ABD內(nèi)的概率為

 

；
（2）設(shè)∠PAB=θ，向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

（λ，μ∈R），若μ-λ=1，則θ=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用幾何概型，所求概率為扇形ABD與正方形ABCD比值；
（2）不妨設(shè)正方形邊長為1以A坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD線為x軸，y建立直角坐標(biāo)系，將相關(guān)向量用坐標(biāo)表示，利用向量相等得到用θ表示的λ，μ的方程組解之．

解答： 解：（1）所求概率為扇形ABD與正方形ABCD比值，設(shè)正方形邊長為a，所求概率為P=

1 4 πa2

a2

=

π

4

；
（2）不妨設(shè)正方形邊長為1以A坐標(biāo)原點(diǎn)，AB
AD線為x軸，y建立直角坐標(biāo)系，則

DE

=（

1

2

，-1），

AC

=（1，1），

AP

=（cosθ，sinθ），

AC

=λ

DE

+μ

AP

，

1 2 λ+μcosθ=1 -λ+μsinθ=1

，所以

λ= 2sinθ-2cosθ sinθ+2cosθ μ= 3 sinθ+2cosθ

，所以μ-λ=1，sinθ=1，θ=

π

2

；
故答案為：

π

4

，

π

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道涉及幾何概型和向量知識(shí)的綜合問題．第（1）題是幾何概型問題，求解轉(zhuǎn)化為扇形的面積與正方形面積的比來解決；第（2）問是關(guān)于平面向量線性運(yùn)算的考題，解題時(shí)可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化．若假設(shè)正方形邊長為1，則點(diǎn)P單位圓上，就可以考慮引入三角函數(shù)來表示點(diǎn)P坐