Question

11．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（-x）且f（1+x）=f（1-x），若x∈[2，3]，f（x）=x，則x∈[-2，0]，f（x）=（　�。�

• A． x+4
• B． 2-x
• C． 3-|x+1|
• D． 2+|x+1|

Answer 1

分析 由題設條件知本題中所給的函數(shù)具有對稱性函數(shù)，故可以利用這一性質(zhì)即可求出f（x）在[-2，0]上的解析式．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（-x）
∴f（x）為偶函數(shù)，
∵f（1+x）=f（1-x），
∴函數(shù)圖象關(guān)于x=1對稱，
∴f（1+x+1）=f（x+1-1）=f（x），
∴f（x）的周期為2的周期函數(shù)，
∵x∈[2，3]，f（x）=x，
設x∈[0，1]，則x+2∈[2，3]，
∴當x∈[-1，0]時，f（x）=2-x，
當x∈[-2，-1]時，則x+4∈[2，3]，
∴f（x+4）=x+4=f（x）
綜上所述f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-x，x∈[-1，0]}\\{x+4，x∈[-2，1）}\end{array}\right.$=3-|x-1|，x∈[-2，0]，
故選：C

點評 本題考點抽象函數(shù)的應用，利用函數(shù)的性質(zhì)通過轉(zhuǎn)化來求函數(shù)的解析式，是函數(shù)性質(zhì)綜合運用的一道好題．對于本題中恒等式的意義要好好挖掘，做題時要盡可能的從這樣的等式中挖掘出信息．