Question

2．已知在（$\frac{a}{x}$-$\sqrt{x}$）⁶（a＞0）的展開式中，常數(shù)項為60．
（1）求a；
（2）求含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的項的系數(shù)；
（3）求展開式中所有的有理項．

Answer 1

分析 （$\frac{a}{x}$-$\sqrt{x}$）⁶（a＞0）的展開式中，通項公式T_r+1=a^6-r（-1）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{\frac{3}{2}r-6}$．
（1）令$\frac{3}{2}r$-6=0，解得r即可得出．
（2）令$\frac{3}{2}r$-6=$\frac{3}{2}$，解得r即可得出．
（3）由x的指數(shù)為$\frac{3}{2}r$-6（r=0，1，2，…，6），只有當r=4，6時，為有理項．

解答 解：（$\frac{a}{x}$-$\sqrt{x}$）⁶（a＞0）的展開式中，通項公式T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（\frac{a}{x}）^{6-r}（-\sqrt{x}）^{r}$=a^6-r（-1）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{\frac{3}{2}r-6}$．
（1）令$\frac{3}{2}r$-6=0，解得r=4，∴a²${∁}_{6}^{4}$=60，解得a=2．
（2）令$\frac{3}{2}r$-6=$\frac{3}{2}$，解得r=5，
∴含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的項的系數(shù)=$2×（-1）{∁}_{6}^{5}$=-12．
（3）由x的指數(shù)為$\frac{3}{2}r$-6（r=0，1，2，…，6），
只有當r=4，6時，有理項分別為：T₅=60，T₇=x³．

點評 本題考查了二項式定理的通項公式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．