Question

19．已知命題p：?x∈[1，2]，x²-（k+1）x+1≤0，命題q：方程$\frac{x^2}{9-2k}+\frac{y^2}{k}=1$表示焦點在x軸上的橢圓．
（1）若p是真命題，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若p且q為假命題，p或q為真命題，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）p是真命題，?x∈[1，2]，x²-（k+1）x+1≤0，可得k≥x+$\frac{1}{x}$-1．令f（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
（2）命題q：方程$\frac{x^2}{9-2k}+\frac{y^2}{k}=1$表示焦點在x軸上的橢圓，則9-2k＞k＞0，解得k范圍．由p且q為假命題，p或q為真命題，可得p與q必然一真一假．

解答 解：（1）p是真命題，?x∈[1，2]，x²-（k+1）x+1≤0，∴k≥x+$\frac{1}{x}$-1．
令f（x）=x+$\frac{1}{x}$-1，則f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0，∴函數(shù)f（x）在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）的最大值為2+$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3}{2}$．
∴k≥$\frac{3}{2}$，
即實數(shù)k的取值范圍是$[\frac{3}{2}，+∞）$．
（2）命題q：方程$\frac{x^2}{9-2k}+\frac{y^2}{k}=1$表示焦點在x軸上的橢圓，則9-2k＞k＞0，解得0＜k＜3．
∵p且q為假命題，p或q為真命題，∴p與q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≥\frac{3}{2}}\\{k≤0或k≥3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{k＜\frac{3}{2}}\\{0＜k＜3}\end{array}\right.$，
解得k≥3或$0＜k＜\frac{3}{2}$．
∴實數(shù)k的取值范圍是$（0，\frac{3}{2}）$∪[3，+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．