Question

17．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)S為△ABC的面積，滿足S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²）
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）求sin²A+sin²B的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形的面積公式化簡(jiǎn)已知等式的左邊，利用余弦定理表示出cosC，變形后代入等式的右邊，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切整理后求出tanC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（Ⅱ）由C的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理表示出A+B的度數(shù)，用A表示出B，代入所求的式子中，利用降冪公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，合并后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，即可得到所求式子的范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²），
∴可得：$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•2abcosC，
∴tanC=$\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$．…5分
（Ⅱ）sin²A+sin²B=-$\frac{1}{2}$[cos2A+cos2B]+1
=-$\frac{1}{2}$[cos2A+cos（2π-2A-2C）]+1
=-$\frac{1}{2}$[cos2A+cos（$\frac{2π}{3}$+2A）]+1
=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A）+1
=$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+1，…8分
∵C=$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，…10分
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{3}{4}$＜sin²A+sin²B≤$\frac{3}{2}$．…12分

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角形的面積公式，余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域與值域，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．