Question

8．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y²=20x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

Answer 1

分析 由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程易得其準(zhǔn)線方程為x=-5，可得雙曲線的左焦點(diǎn)為（-5，0），再根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程平行于直線l：y=2x+10，得a、b的另一個(gè)方程，求出a、b，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：因?yàn)閽佄锞�y²=20x的準(zhǔn)線方程為x=-5，所以由題意知，點(diǎn)F（-5，0）是雙曲線的左焦點(diǎn)，
所以a²+b²=c²=25，①
又雙曲線的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，所以$\frac{a}$=2，②
由①②解得a²=5，b²=20，
所以雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．