Question

17．設函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x-$\frac{1}{x}$．
（1）求函數(shù)φ（x）=$\frac{5}{4}$f（x）-$\frac{1}{2}$g（x）的極值；
（2）若x≥1時，恒有f（x）≤λg（x）成立，求λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值；
（2）問題轉(zhuǎn)化為lnx-λ（x-$\frac{1}{x}$）≤0在[1，+∞）恒成立，設h（x）=lnx-λ（x-$\frac{1}{x}$），求出h（x）的導數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出λ的范圍即可．

解答 解：（1）φ（x）=$\frac{5}{4}$f（x）-$\frac{1}{2}$g（x）=$\frac{5}{4}$lnx-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，（x＞0），
∴φ′（x）=-$\frac{（2x-1）（x-2）}{{4x}^{2}}$，
令φ′（x）＞0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，令φ′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2，
∴φ（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
∴x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)有極小值是：$\frac{3}{4}$-$\frac{5}{4}$ln2，
x=2時，函數(shù)有極大值是：$\frac{5}{4}$ln2-$\frac{3}{4}$；
（2）若x≥1時，恒有f（x）≤λg（x）成立，
?lnx-λ（x-$\frac{1}{x}$）≤0在[1，+∞）恒成立，
設h（x）=lnx-λ（x-$\frac{1}{x}$），h′（x）=$\frac{-{λx}^{2}+x-λ}{{x}^{2}}$，
∵h（1）=0，∴h（x）在[1，+∞）遞減符合題意，∴λ＞0，
設m（x）=-λx²+x-λ，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2λ}≤1}\\{m（1）≤0}\end{array}\right.$，解得：λ≥$\frac{1}{2}$

點評 本題考查了求函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用，函數(shù)恒成立問題，本題有一道的難度．