Question

7．如圖，ABCD是正方形，O是該正方形的中心，P是平面 ABCD 外一點，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．
求證：（1）PA∥平面 BDE；
（2）BD⊥平面 PAC；
（3）若PB與平面PAC所成角為45°，求二面角E-BD-C的平面角．

Answer 1

分析 （1）連接OE，由已知得OE∥AP，由此能證明PA∥平面BDE．
（2）由線面垂直得PO⊥BD，由正方形性質得BD⊥AC，由此能證明BD⊥平面PAC．
（3）根據二面角平面角的定義得到∠COE是二面角E-BD-C的平面角，根據三角形的邊角關系進行求解即可．

解答 （1）證明：如圖所示，連接OE，
∵O是正方形ABCD的中心，∴OC=OA，
∵E是PC的中點，∴CE=EP，
∴OE∥AP，
∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，
∴PA∥平面BDE
（2）證明：∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD．
由正方形可得：BD⊥AC，
又PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．
（3）解：由（2）知BD⊥平面 PAC；
∴∠BPO是PB與平面PAC所成角，即∠BPO=45°，
則OB=OP，設OB=OP=1，則PC=PB=$\sqrt{2}$，
∵E是PC的中點，
∴OE⊥PC，
∵BD⊥平面 PAC，
∴BD⊥OE，
即∠COE是二面角E-BD-C的平面角，
在三角形COE中，∠ECO=∠COE=45°，
∴二面角E-BD-C的大小為45°．

點評 本題主要考查空間線面平行的判斷以及二面角的求解，根據線面平行和線面垂直的判定定理以及二面角平面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關鍵．綜合考查學生的運算和推理能力．