Question

18．在一梯形中作兩條對角線，并聯(lián)結(jié)它們的中點，所得的線段與下底再構(gòu)成一個梯形，如此重復(fù)1975次，最后得到的梯形上底邊長恰好與原來的梯形上底邊長相等．若原梯形高為h，上底邊長為a，求原梯形的面積．

Answer 1

分析 設(shè)上底邊長為b，確定第n次，得到的梯形上底邊長為a_n，利用重復(fù)1975次，最后得到的梯形上底邊長恰好與原來的梯形上底邊長相等，求出b，即可求原梯形的面積．

解答 解：設(shè)上底邊長為b，第n次，得到的梯形上底邊長為a_n，a₁=$\frac{1}{2}$（b-a）
則2a_n=b-a_n-1，
∴2（a_n-$\frac{1}{3}$b）=-（a_n-1-$\frac{1}{3}$b），
∴a_n-$\frac{1}{3}$b=$\frac{b-3a}{6}•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$
∴a_n=$\frac{b-3a}{6}•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{1}{3}$b
∵重復(fù)1975次，最后得到的梯形上底邊長恰好與原來的梯形上底邊長相等，
∴$\frac{b-3a}{6}•（-\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{1}{3}$b=a
∴$\frac{b-3a}{6}•（-\frac{1}{2}）^{1974}$=$\frac{3a-b}{3}$，
∴b=3a，
∴原梯形的面積$\frac{a+3a}{2}•h$=2ah．

點評 本題考查歸納推理，考查數(shù)列的通項，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．