Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD⊥底面ABCD，PD=1，PB=PC=BC=$\sqrt{2}$，點E，F(xiàn)分別是PA，BC的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）證明：PB⊥CD；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中點O，連結(jié)EO、FO，推導(dǎo)出OE∥PD，F(xiàn)O∥CD，從而平面EOF∥平面PDC，由此能證明EF∥平面PCD．
（Ⅱ）推導(dǎo)出PD⊥CD，PB⊥BD，且BD=CD=1，從而BD⊥CD，進而CD⊥平面PBD，由此能證明PB⊥PD．
（Ⅲ）以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取AD中點O，連結(jié)EO、FO，
∵點E，F(xiàn)分別是PA，BC的中點，∴OE∥PD，F(xiàn)O∥CD，
∵OE∩FO=O，PD∩CD=D，
OE，F(xiàn)O?平面EOF，PD，CD?平面PDC，
∴平面EOF∥平面PDC，
∵EF?平面EOF，∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）∵在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD⊥底面ABCD，PD=1，PB=PC=BC=$\sqrt{2}$，
∴PD⊥CD，PB⊥BD，且BD=CD=$\sqrt{2-1}$=1，
∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD，
∵BD∩CD=D，∴CD⊥平面PBD，
∵PB?平面PBD，∴PB⊥PD．
解：（Ⅲ）以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，
A（-1，1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PA}$=（-1，1，-1），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），
設(shè)平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=-x+y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=x-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，1），
設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=a-c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=b-c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1+2+1}{\sqrt{6}•\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴二面角A-PB-C的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．