Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x-4（a+5），g（x）=x²-ax+5，其中a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[0，1]上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）、g（x）存在相同的零點，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）若存在x₀∈[1，3]，使得不等式|g（x₀）|≤2x₀成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，得到對稱軸在區(qū)間內(nèi)．
（2）由函數(shù)f（x）、g（x）存在相同的零點，得到a的值．
（3）由恒成立問題，分離參數(shù)，得到最值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²-（a+1）x-4（a+5），在區(qū)間[0，1]上不單調(diào)，
∴其對稱軸在[0，1]內(nèi)，
∴0＜$\frac{a+1}{2}$＜1，
∴-1＜a＜1．
（2）解方程x²-（a+1）x-4（a+5）=0，
得：x=-4或x=a+5，
∵函數(shù)f（x）、g（x）存在相同的零點，
∴-4或a+5為方程x²-ax+5=0的根，
將-4代入x²-ax+5=0，得：a=-$\frac{21}{4}$
將a+5代入x²-ax+5=0，得：a=-6，
綜上a的值為-$\frac{21}{4}$，或-6．
（3）∵|g（x₀）|≤2x₀
∴$-2{x}_{0}≤{{x}_{0}}^{2}-ax+5≤2{x}_{0}$
分離參數(shù)得
${x}_{0}+\frac{5}{{x}_{0}}-2≤a≤{x}_{0}+\frac{5}{{x}_{0}}+2$
令h（x）=$x+\frac{5}{x}$，
則h（x）≥$2\sqrt{5}$，取等條件為x=$\sqrt{5}$∈[1，3]．
又h（5）=6，h（3）=3+$\frac{5}{3}$＜6．
∴$2\sqrt{5}$≤h（x）≤6 （x∈[1，3]）．
∴h（x）-2≤a≤h（x）+2．
∵?x₀∈[1，3]代入該不等式
∴$2\sqrt{5}-2≤a≤8$

點評 本題考查考查零點的定義，解一元二次方程，對勾函數(shù)，存在性問題．