Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx（a≠0）．
當(dāng)a=-2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域上是增函數(shù)，若函數(shù)φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln 2]，求函數(shù)φ（x）的最小值．

Answer 1

分析 將a=-2代入h（x）=f（x）-g（x）中，求得h（x）的解析式，然后求出其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題中已知條件便可求出b的取值范圍；根據(jù)題意先求出φ（x）的解析式，然后分別討論b的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)φ（x）的最小值即可．

解答 解：依題意：h（x）=ln x+x²-bx，h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
∴b≤$\frac{1}{x}$+2x，∵x＞0，則$\frac{1}{x}$+2x≥2$\sqrt{2}$（當(dāng)x═$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號）．
∴b的取值范圍為（-∞，2$\sqrt{2}$]．
設(shè)t=e^x，則函數(shù)化為y=t²+bt，t∈[1，2]，∵y=（t+$\frac{2}$）²-$\frac{^{2}}{4}$，
∴①當(dāng)-$\frac{2}$≤1，即-2≤b≤2$\sqrt{2}$時，函數(shù)y在[1，2]上為增函數(shù)，
當(dāng)t=1時，y_min=b+1．
②當(dāng)1＜-$\frac{2}$＜2，即-4＜b＜-2時，當(dāng)t=-$\frac{2}$時，y_min=-$\frac{^{2}}{4}$．
③當(dāng)-$\frac{2}$≥2，即b≤-4時，函數(shù)y在[1，2]上為減函數(shù)，當(dāng)t=2時，y_min=4+2b．
綜上所述，當(dāng)-2≤b≤2$\sqrt{2}$時，φ（x）_min=b+1；
當(dāng)-4＜b＜-2時，φ（x）_min=-$\frac{^{2}}{4}$；
當(dāng)b≤-4時，φ（x）_min=4+2b．

點評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值和函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生的計算能力和對函數(shù)的綜合掌握，解題時注意分類討論的數(shù)學(xué)思想的運用，是各地高考的常考題，屬于中檔題．