【題目】已知函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),其反函數(shù)是

(1)若,求并寫出定義域;

(2)對(duì)于⑴的,設(shè)任意,,求證:

(3)已知函數(shù)的圖象有交點(diǎn),求證:它們的交點(diǎn)一定在直線上.

【答案】(1),;(2)證明見詳解;(3)證明見詳解.

【解析】

1)根據(jù)反函數(shù)的求解過程,即可求得,再求原函數(shù)值域,即為反函數(shù)的定義域;

2)根據(jù)(1)中所求,用分析法將不等式進(jìn)行不斷轉(zhuǎn)換,即可證明;

3)根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的特點(diǎn),以及函數(shù)單調(diào)性,即可證明.

1)因?yàn)?/span>,故可得,又因?yàn)?/span>

,故

又因?yàn)?/span>時(shí),單調(diào)遞增,故其值域?yàn)?/span>

的定義域?yàn)?/span>;

綜上所述:.

2)由(1)可知,

要證

即證

也就是證

因?yàn)?/span>,故,則,同理可得

成立,

則原不等式成立,即證.

3)證明:設(shè)是函數(shù)的交點(diǎn),

故可得

故可得

過點(diǎn)

又因?yàn)?/span>是單調(diào)第增函數(shù),

故當(dāng)時(shí),,即,這與題設(shè)矛盾;

當(dāng)時(shí),,即,這也與題設(shè)矛盾;

當(dāng)時(shí),,即,滿足題意.

綜上所述,若有交點(diǎn),則交點(diǎn)一定在直線上,即證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】商家通常依據(jù)樂觀系數(shù)準(zhǔn)則確定商品銷售價(jià)格,及根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a,最高銷售限價(jià)bba)以及常數(shù)x0x1)確定實(shí)際銷售價(jià)格c=a+xb﹣a),這里,x被稱為樂觀系數(shù).

經(jīng)驗(yàn)表明,最佳樂觀系數(shù)x恰好使得(c﹣a)是(b﹣c)和(b﹣a)的等比中項(xiàng),據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)x的值等于

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中

1)若函數(shù)上是增函數(shù),求的取值范圍.

2)若存在,使得關(guān)于的方程有三個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,直線軸,軸分別相交于點(diǎn)B、C,經(jīng)過BC兩點(diǎn)的拋物線軸的另一交點(diǎn)為A,頂點(diǎn)為P,且對(duì)稱軸為直線.

1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

2)連結(jié)AC.請(qǐng)問在軸上是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC 相似,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 已知曲線的極坐標(biāo)方程為 ,直線 的參數(shù)方程為 (為參數(shù)).

(I)分別求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線 的普通方程;

(II)設(shè)曲線和直線相交于兩點(diǎn),求弦長的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知不等式,且)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則的最大值為____________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,某學(xué)校擬建一塊五邊形區(qū)域的“讀書角”,三角形區(qū)域ABE為書籍?dāng)[放區(qū),沿著ABAE處擺放折線形書架(書架寬度不計(jì)),四邊形區(qū)域?yàn)?/span>BCDE為閱讀區(qū),若∠BAE=60°,∠BCD=∠CDE=120°,DE=3BC=3CDm

(1)求兩區(qū)域邊界BE的長度;

(2)若區(qū)域ABE為銳角三角形,求書架總長度AB+AE的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知對(duì)某校的100名學(xué)生進(jìn)行不記名問卷調(diào)查,內(nèi)容為一周的課外閱讀時(shí)長和性別等進(jìn)行統(tǒng)計(jì),如表:

1)課外閱讀時(shí)長在20以下的女生按分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人,再從7人中隨機(jī)抽取2人,求這2人課外閱讀時(shí)長不低于15的概率;

2)將課外閱讀時(shí)長為25以上的學(xué)生視為“閱讀愛好”者,25以下的學(xué)生視為“非閱讀愛好”者,根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表:

非閱讀愛好者

閱讀愛好者

總計(jì)

女生

男生

總計(jì)

能否在犯錯(cuò)概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為學(xué)生的“閱讀愛好”與性別有關(guān)系?

附:,

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本(萬元)與年產(chǎn)量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似的表示為,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸.

1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí),生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本;

2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元,那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí),可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?

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