Question

【題目】已知函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，其反函數(shù)是．

（1）若，求并寫出定義域；

（2）對于⑴的和，設(shè)任意，，，求證：；

（3）已知函數(shù)和的圖象有交點(diǎn)，求證：它們的交點(diǎn)一定在直線上．

Answer 1

【答案】(1)，；(2)證明見詳解；(3)證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)反函數(shù)的求解過程，即可求得，再求原函數(shù)值域，即為反函數(shù)的定義域；

（2）根據(jù)（1）中所求，用分析法將不等式進(jìn)行不斷轉(zhuǎn)換，即可證明；

（3）根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的特點(diǎn)，以及函數(shù)單調(diào)性，即可證明.

（1）因?yàn)?/span>，故可得，又因?yàn)?/span>

故，故；

又因?yàn)?/span>在時，單調(diào)遞增，故其值域?yàn)?/span>

故的定義域?yàn)?/span>；

綜上所述：，.

（2）由（1）可知，

要證

即證

也就是證

因?yàn)?/span>，故，則，同理可得

故成立，

則原不等式成立，即證.

（3）證明：設(shè)是函數(shù)與的交點(diǎn)，

故可得

故可得

即過點(diǎn)和

又因?yàn)?/span>是單調(diào)第增函數(shù)，

故當(dāng)時，，即，這與題設(shè)矛盾；

當(dāng)時，，即，這也與題設(shè)矛盾；

當(dāng)時，，即，滿足題意.

綜上所述，若與有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線上，即證.