Question

13．本著健康、低碳的生活理念，湛江市區(qū)采用公共自行車的人越來越多，使用年租卡租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．假設(shè)甲、乙兩人相互獨(dú)立地用年租卡每天租車一次．已知甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí)．
（Ⅰ）分別求出甲、乙兩人某一天在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車的概率．
（Ⅱ）記甲、乙兩人一天所付的租車費(fèi)用之和為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，由全部基本事件的概率之和為1，利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式求解即可．
（Ⅱ）由題意ξ的可能取值為0，2，4，6，8，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）甲在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車的概率為1-$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
乙在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車的概率為1-$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，2，4，6，8，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+\frac{1}{2}（1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{16}$，
P（ξ=6）=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{16}$，
P（ξ=8）=（1-$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{4}-\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{16}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	2	4	6	8
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{16}$

Eξ=$0×\frac{1}{8}+2×\frac{5}{16}+4×\frac{5}{16}+6×\frac{3}{16}$+8×$\frac{1}{16}$=$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立事件和互斥事件的概率，考查利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，是中檔題．