Question

16．某田徑隊有三名短跑運(yùn)動員，根據(jù)平時訓(xùn)練情況統(tǒng)計甲、乙、丙三人100米跑（互不影響）的成績在13s內(nèi)（稱為合格）的概率分別為$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{3}$，若對這三名短跑運(yùn)動員的100米跑的成績進(jìn)行一次檢測．求：
（1）三人都合格的概率；
（2）三人都不合格的概率；
（3）出現(xiàn)幾人合格的概率最大．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨立事件的概率乘法公式，計算求得結(jié)果．
（2）把每個人不合格的概率相乘，即得所求．
（3）再求出僅一個人合格的概率、僅2個人合格的概率，結(jié)合前兩問，比較可的結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得，三人都合格的概率為$\frac{2}{5}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{10}$；
（2）三人都不合格的概率為（1-$\frac{2}{5}$）•（1-$\frac{3}{4}$）•（1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{10}$；
（3）由于僅一個人合格的概率為$\frac{2}{5}$•（1-$\frac{3}{4}$）•（1-$\frac{1}{3}$）+（1-$\frac{2}{5}$）•$\frac{3}{4}$•（1-$\frac{1}{3}$）+（1-$\frac{2}{5}$）•（1-$\frac{3}{4}$）•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{15}$+$\frac{3}{10}$+$\frac{1}{20}$=$\frac{5}{12}$，
僅2個人合格的概率為$\frac{2}{5}•\frac{3}{4}•（1-\frac{1}{3}）$+$\frac{2}{5}•（1-\frac{3}{4}）•\frac{1}{3}$+（1-$\frac{2}{5}$）•$\frac{3}{4}•\frac{1}{3}$=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{3}{20}$=$\frac{23}{60}$．
由以上可得，沒有人合格、三人都合格的概率都是 $\frac{1}{10}$，
∵$\frac{5}{12}$＞$\frac{23}{60}$＞$\frac{1}{10}$，故出現(xiàn)僅一人合格的概率最大．

點評 本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率與它的對立事件的概率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．