Question

3．已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x．
（1）當(dāng)a=3時，方程f（x）=m的解的個數(shù)；
（2）對任意x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=2x+1圖象的下方，求a的取值范圍；
（3）f（x）在（-4，2）上單調(diào)遞增，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=3時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x，x≥3\\ 5x-{x^2}，x＜3\end{array}\right.$，分類討論可得不同情況下方程f（x）=m的解的個數(shù)；
（2）對任意x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）=2x+1圖象的下方，即x|x-a|＜1在x∈[1，2]上恒成立，解得a的取值范圍；
（3）f（x）在（-4，2）上單調(diào)遞增，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分段討論滿足條件的a值，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x，x≥3\\ 5x-{x^2}，x＜3\end{array}\right.$，
當(dāng)m=6或$\frac{25}{4}$時，方程有兩個解；
當(dāng)m＜6或$m＞\frac{25}{4}$時，方程一個解；
當(dāng)$6＜m＜\frac{25}{4}$時，方程有三個解．--------------------------------------------------------------（3分）
（2）由題意知f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1在x∈[1，2]上恒成立，
即$|x-a|＜\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立，
即$x-\frac{1}{x}＜a＜x+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立，
∴$\frac{3}{2}＜a＜2$-----------------------------------------（9分）
（3）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+（2-a）x，x≥a\\-{x^2}+（a+2）x，x＜a\end{array}\right.$
①$\frac{a-2}{2}≤a$且$\frac{a+2}{2}≥a$，即-2≤a≤2時，
f（x）在R單調(diào)遞增，滿足題意；
②$\frac{a-2}{2}＞a$且$\frac{a+2}{2}≥a$，即a＜-2時，
f（x）在（-∞，a）和（$\frac{a-2}{2}$，+∞）單調(diào)遞增，
∵f（x）在（-4，2）上單調(diào)遞增，
∴a≥2或-4，
∴a≤-6；
③$\frac{a-2}{2}＞a$且$\frac{a+2}{2}＜a$，即a＜-2且a＞2時，不存在滿足條件的a值；
④$\frac{a-2}{2}＜a$且$\frac{a+2}{2}＜a$，即a＞2時，
f（x）在（-∞，$\frac{a+2}{2}$）和（a，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（x）在（-4，2）上單調(diào)遞增，
∴$\frac{a+2}{2}≥2$或a≤-4，∴a＞2
綜上：a≤-6或a≥-2-----------------------------------------------------（16分）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．