Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，設(shè)兩曲線y=f（x），y=g（x）有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同，則a∈（0，+∞）時(shí)，實(shí)數(shù)b的最大值是$\frac{3}{2}{e}^{\frac{2}{3}}$．

Answer 1

分析 設(shè)公共點(diǎn)（x₀，y₀），根據(jù)題意得到，f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），解出b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究b關(guān)于a的函數(shù)的單調(diào)性，從而求出b的最大值．

解答 解：（I）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=$\frac{3{a}^{2}}{x}$．
由題意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀）
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}+2a{x}_{0}=3{a}^{2}ln{x}_{0}+b}\\{{x}_{0}+2a=\frac{3{a}^{2}}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，
解得x₀=a或x₀=-3a（舍去），
b（a）=$\frac{5{a}^{2}}{2}$-3a²lna（a＞0）
b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna）
b'（a）＞0?$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{1-3lna＞0}\end{array}\right.$?0＜a＜${e}^{\frac{1}{3}}$
b'（a）＜0?$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{1-3lna＜0}\end{array}\right.$?a＞${e}^{\frac{1}{3}}$
可見b（a）_max=b（${e}^{\frac{1}{3}}$）=$\frac{3}{2}{e}^{\frac{2}{3}}$．
故答案為：$\frac{3}{2}{e}^{\frac{2}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程和恒成立問(wèn)題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．