Question

判斷三角函數(shù)的奇偶性．
（1）f（x）=sin（

3x

4

+

3π

2

）；
（2）f（x）=lg

sinx+cosx

sinx-cosx

；
（3）f（x）=

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）運用誘導公式化簡，結(jié)合余弦函數(shù)的奇偶性即可判斷；
（2）由

sinx+cosx

sinx-cosx

＞0解出不等式，再計算f（-x），與f（x）比較，即可得到奇偶性；
（3）通過舉反例，x=

π

2

在定義域內(nèi)，x=-

π

2

不在定義域內(nèi)，定義域不關于原點對稱，即可判斷．

解答： 解：（1）f（x）=sin（

3

4

x+

3π

2

）=-cos

3

4

x，
有f（-x）=-cos（-

3

4

x）=-cos

3

4

x=f（x），則f（x）為偶函數(shù)；
（2）由

sinx+cosx

sinx-cosx

＞0，即為

tanx+1

tanx-1

＞0，可得 tanx＜-1 或tanx＞1，或cosx=0．
∴x＞kπ+

π

4

，或x＜kπ-

π

4

，或 x=2kπ±

π

2

，k∈Z，
故函數(shù)的定義域為（kπ+

π

4

，kπ+

π

2

）∪（ kπ-

π

2

，kπ-

π

4

 ）∪{x|x=2kπ±

π

2

}，k∈Z，
故定義域關于原點對稱．
f（-x）=lg

sin(-x)+cos(-x)

sin(-x)-cos(-x)

=lg

cosx-sinx

-cosx-sinx

=lg

sinx-cosx

sinx+cosx

=-lg

sinx+cosx

sinx-cosx

=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)；
（3）f（x）=

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

，
則sinx+cosx≠-1，
故當x=

π

2

，f（x）有意義，當x=-

π

2

時，f（x）沒有意義，
故定義域不關于原點對稱．
則有f（x）是非奇非偶函數(shù)．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，注意首先判斷定義域是否關于原點對稱，考查三角函數(shù)的化簡，考察運算能力，屬于中檔題和易錯題．