Question

7．棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)部有一個(gè)半徑為1的小球．當(dāng)小球在正方體內(nèi)部自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，則在正方體內(nèi)部小球所不能到達(dá)的空間的體積為20-$\frac{13π}{3}$．

Answer 1

分析 小球在盒子不能到達(dá)的空間要分以下幾種情況，在正方體頂點(diǎn)處的小正方體中，其體積等于小正方體體積減球的體積，在棱長(zhǎng)處對(duì)應(yīng)的正方體中，其體積等于這些小正方體體積的和減以球的直徑為底面直徑，以正方體和的高為高的圓柱，其他空間小球均能到達(dá)，綜合后即可得到結(jié)果．

解答 解：在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)處的單位立方體空間內(nèi)，
小球不能到達(dá)的空間為：8（1-$\frac{1}{8}$×$\frac{4}{3}×π×{1}^{3}$）=8-$\frac{4}{3}π$，
除此之外，在以正方體的棱為一條棱的12個(gè)1×1×1的正四棱柱空間內(nèi)，
小球不能到達(dá)的空間共為12×[1³-（$\frac{1}{4}$×π×1²×1）]=12-3π．
其他空間小球均能到達(dá)．
故小球不能到達(dá)的空間體積為：8-$\frac{4}{3}π$+12-3π=20-$\frac{13π}{3}$．
故答案為：20-$\frac{13π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了球的體積，棱柱的體積，其中熟練掌握棱柱和不規(guī)則幾何題的結(jié)構(gòu)特征，建立良好的空間想象能力是解答本題的關(guān)鍵．