Question

9．三棱錐S-ABC及其三視圖的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積是（　�。�

• A． $\frac{112}{3}$π
• B． $\frac{64}{3}$π
• C． 32π
• D． 64π

Answer 1

分析 由已知中的三視圖可得SC⊥平面ABC，底面△ABC為等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，取AC中點(diǎn)F，連BF，求出BS=4$\sqrt{2}$，可得三棱錐外接球的半徑，即可得到答案．

解答 解：由已知中的三視圖可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC為等腰三角形
如圖，取AC中點(diǎn)F，連BF，則
在Rt△BCF中，BF=2$\sqrt{3}$，CF=2，BC=4．
在Rt△BCS中，CS=4，所以BS=4$\sqrt{2}$．
設(shè)球心到平面ABC的距離為d，則
因?yàn)椤鰽BC的外接圓的半徑為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
所以由勾股定理可得R²=d²+（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²=（4-d）²+（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²，
所以d=2，該三棱錐外接球的半徑R=$\sqrt{\frac{28}{3}}$，
所以  三棱錐外接球的表面積是4πR²=$\frac{112}{3}$π，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是簡單空間圖形的三視圖，其中根據(jù)已知中的視圖分析出幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．