Question

4．不等式x²+3y²≥ay（x+y）對(duì)任意x，y∈R⁺恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為2．

Answer 1

分析 法1：利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用分式函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合換元法和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值和最值即可得到結(jié)論．
法2：利用分式的特點(diǎn)，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解．

解答 解：∵不等式x²+3y²≥ay（x+y）對(duì)任意x，y∈R⁺恒成立，
∴不等式等價(jià)為a≤$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，
設(shè)z=$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，
方法一：z=$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$=$\frac{1+3（\frac{y}{x}）^{2}}{\frac{y}{x}+（\frac{y}{x}）^{2}}$，
令k=$\frac{y}{x}$，則z=$\frac{1+3{k}^{2}}{{k}^{2}+k}$，k＞0
則z′=$\frac{6k（{k}^{2}+k）-（1+3{k}^{2}）（2k+1）}{（{k}^{2}+k）^{2}}$=$\frac{3{k}^{2}-2k-1}{（{k}^{2}+k）^{2}}$，
由z′（k）＞0得k＞1，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，
z′（k）＜0得0＜k＜1，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，
即當(dāng)k=1時(shí)，z=$\frac{1+3{k}^{2}}{{k}^{2}+k}$取得極小值，同時(shí)也是最小值z(mì)（1）=$\frac{1+3}{1+1}=\frac{4}{2}=2$，
則a≤2，
則a的最大值為2，
方法二：∵不等式x²+3y²≥ay（x+y）對(duì)任意x，y∈R⁺恒成立，
∴不等式等價(jià)為a≤$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，
設(shè)z=$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$，則z=$\frac{{x}^{2}+3{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$≥$\frac{2xy+2{y}^{2}}{xy+{y}^{2}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，
即a≤2，
則a的最大值為2，
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用分式的性質(zhì)，結(jié)合換元法，導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．