Question

7．已知函數(shù)f（x）=|x+m|-|5-x|（m∈R）
（1）當m=3時，求不等式f（x）＞6的解集；
（2）若不等式f（x）≤10對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，得到各個區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；
（2）根據(jù)絕對值的幾何意義求出m的范圍即可．

解答 解：（1）當m=3時，f（x）＞6，即|x+3|-|5-x|＞6，
不等式的解集是以下三個不等式組解集的并集：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥5}\\{x+3-（x-5）＞6}\end{array}\right.$，解得x≥5；   或$\left\{\begin{array}{l}{-3＜x＜5}\\{x+3+（x-5）＞6}\end{array}\right.$，解得4＜x＜5
或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-3}\\{-x-3+（x-5）＞6}\end{array}\right.$，解得∅； 故不等式的解集為（4，+∞）；
（2）f（x）=|x+m|-|5-x|≤|m+5|，
由題意得|m+5|≤10，則-10≤m+5≤10，解得-15≤m≤5，
故m的取值范圍為[-15，5]．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查絕對值的幾何意義，分類討論思想，是一道中檔題．