Question

18．在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在（40，60）內的選手可以參加復活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽．
（1）已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，估計這200名參賽選手的成績平分數和中位數；
（2）根據已有的經驗，參加復活賽的選手能夠進入第二輪比賽的概率如表：

參賽選手成績所在區(qū)間	（40，50]	（50，60）
每名選手能夠進入第二輪的概率	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$

假設每名選手能否通過復活賽相互獨立，現有4名選手的成績分別為（單位：分）43，45，52，58，記這4名選手在復活賽中通過的人數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖的性質先求出a，由此能估計這200名參賽選手的成績平均數和中位數；
（2）根據題意知，成績在（40，50]，（50，60）內選手分別有2名和2名，隨機變量X的取值為0，1，2，3，4．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．

解答 解：（1）由10（0.01+0.02+0.03+a）=1，解得：a=0.04，
平均數$\overline{x}$=10×（65×0.01+75×0.04+85×0.02+95×0.03）=82，
由圖可知：前兩個矩形面積之和為0.5，
∴中位數為80；
（2）由題意可知：成績在（40，50]，（50，60）內選手各由兩名，
則隨機變量X的取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{36}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{13}{36}$，
P（X=3）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{9}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$

∴X數學期望E（X）=0×$\frac{1}{36}$+1×$\frac{1}{6}$+2×$\frac{13}{36}$+3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{1}{9}$=$\frac{7}{3}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的性質及應用，考查離散型隨機變量的分布列及數學期望的求法，在歷年高考中都是必考題型之一，屬于中檔題．