Question

15．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2．
（Ⅰ） 若點M的直角坐標為（2，$\sqrt{3}$），直線l與曲線C交于A、B兩點，求|MA|+|MB|的值；
（Ⅱ）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x^/}=\sqrt{3}x\\{y^/}=y\end{array}$得到曲線C′，求曲線C′的內(nèi)接矩形周長的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得曲線C的直角坐標方程，把直線l代入圓的直角坐標方程，化簡后利用韋達定理可求t₁+t₂，t₁t₂的值，由|MA|+|MB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可求得|MA|+|MB|的值；
（Ⅱ）設(shè)矩形的頂點坐標為（x′，y′），則根據(jù)x′，y′的關(guān)系消元得出P關(guān)于x（或y）的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出此函數(shù)的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為ρ=2，則曲線C的直角坐標方程為：x²+y²=4，
直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，轉(zhuǎn)化成普通方程為：y-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$=0，
設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
將直線l的參數(shù)方程帶入圓的直角坐標方程x²+y²=4，
整理得：t²+5t+3=0，
∴t₁+t₂=-5，t₁•t₂=3，
|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{13}$，
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}x′}\\{y=y′}\end{array}\right.$代入曲線C的方程得：$\frac{x{′}^{2}}{12}+\frac{y{′}^{2}}{3}=1$，
設(shè)曲線C′的內(nèi)接矩形周長為P，曲線C′的內(nèi)接矩形的第一象限內(nèi)的頂點為N（x′，y′）（0＜x＜2$\sqrt{3}$，0＜y＜2），
x′²+3y′²=3，x′=$\sqrt{12-3y{′}^{2}}$，
P=4x′+4y′=4$\sqrt{12-3y{′}^{2}}$，+4y′，
令f（y）=4$\sqrt{12-3y{′}^{2}}$，+4y′，
f′（y）=$\frac{-12y′}{\sqrt{12-3y{′}^{2}}}$+4，
令f′（y′）=0得y=1，
當0＜y′＜1時，f′（y′）＞0，當1＜y＜1時，f′（y′）＜0．
∴當y′=1時，f（y′）取得最大值16．
曲線C′的內(nèi)接矩形周長的最大值16．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、直線參數(shù)方程、弦長公式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題．．