Question

19．橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸為4$\sqrt{3}$，焦距為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓G的方程；
（2）若斜率為1的直線l與橢圓G交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P（-3，2）在線段AB的垂直平分線上，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知2a=4$\sqrt{3}$，2c=4$\sqrt{2}$，求出b²=a²-c²可得答案；
（2）設(shè)直線l：y=x+b，求出直線方程，進(jìn)而求出△PAB的底邊長和高，可得△PAB的面積．

解答 解：（1）由題意，2a=4$\sqrt{3}$，2c=4$\sqrt{2}$，
∴a=2$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{2}$，
∴b=2，
∴橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)直線l：y=x+b與C兩個不同的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則線段AB的垂直平分線方程為：y=-x+a，
將P（-3，2）代入得：a=-1，故線段AB的垂直平分線方程為：y=-x-1；
由直線l：y=x+b與C得：4x²+6bx+3b²-12=0，
故x₁+x₂=-$\frac{3b}{2}$，
則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（-$\frac{3b}{4}$，$\frac{4}$），
將其代入y=-x-1得：b=2，
故直線l：y=x+2，即x-y+2=0，
P到AB的距離d=$\frac{|3-2+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$，
AB=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$×3=3$\sqrt{2}$，
故求△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，難度中檔．