Question

18．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{2a-c}$，且a+c=2．
（1）求角B；
（2）求邊長b的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡表達(dá)式，求角B；個(gè)兩角和與差的三角函數(shù)化簡求解即可．
（2）利用余弦定理求邊長b的最小值．推出b的表達(dá)式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）在△ABC中，由已知$\frac{cosC}{cosB}=\frac{2sinA-sinC}{sinB}$，
即cosCsinB=（2sinA-sinC）cosB，
sin（B+C）=2sinAcosB，sinA=2sinAcosB，…4分
△ABC 中，sinA≠0，
故$cosB=\frac{1}{2}，B=\frac{π}{3}$． …6分．
（2）a+c=2，
由（1）$B=\frac{π}{3}$，因此b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac …9分
由已知b²=（a+c）²-3ac=4-3ac …10分
$≥4-3{（{\frac{a+c}{2}}）^2}=4-3=1$ …11分
故b 的最小值為1．…12分

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．