Question

8．設(shè)動點P，Q的坐標(biāo)分別為（a，b），（c，d）且滿足c=3a+2b+1，d=a+4b-3，如果點P在直線l上移動，點Q也在直線l上移動，這樣的直線l是否存在？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為mx+ny+p=0，分別代入點的坐標(biāo)，再根據(jù)c=3a+2b+1，d=a+4b-3，利用斜率，得到m，n，p的關(guān)系，即可求出直線方程．

解答 解：這樣的直線是存在的，
理由如下：設(shè)直線l的方程為mx+ny+p=0，依題意 ma+nb+p=0，①，
m（3a+2b+1）+n（a+4b-3）+p=0，②，
②變?yōu)椋?m+n）a+（2m+4n）b+m-3n+p=0．③，
①、③表示同一條直線，
∴$\frac{3m+n}{m}$=$\frac{2m+4n}{n}$=$\frac{m-3n+p}{p}$．
由前者，3mn+n²=2m²+4mn，即 2m²+mn-n²=0，∴m=-n，或m=$\frac{n}{2}$
 把m=-n代入后者，得2=$\frac{-4n+p}{p}$，即p=4n．
把m=$\frac{n}{2}$代入后者，得5=$\frac{-2.5n+p}{p}$，即p=-$\frac{5n}{8}$．
∴l(xiāng)的方程為x-y-4=0，或4x+8y-5=0．

點評 本題考查了直線方程以及直線共線的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造方程，利用斜率，屬于中檔題．