Question

4．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別為DC，AB的中點，將△DAE沿AE折起，使得∠DEC=120°．
（Ⅰ）求證：平面DCF⊥平面DCE；
（Ⅱ）求點B到平面DCF的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AE⊥DE，AE⊥CE，知AE⊥面DCE，從而CF⊥面DCE，由此能證明平面DCF⊥平面DCE．
（2）過點E作z軸⊥面ABCE，如圖，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點B到平面DCF的距離．

解答 證明：（Ⅰ）由已知AE⊥DE，AE⊥CE，DE∩CE=E，
∴AE⊥面DCE，…（2分）
又AE∥CF，∴CF⊥面DCE，
又CF?面DCF，
∴平面DCF⊥平面DCE．…（5分）
解：（2）∵AE⊥DE，AE⊥CE，∠DEC=120°，
過點E作z軸⊥面ABCE，如圖，建立空間直角坐標系，
則E（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，1，0），D（0，-$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
B（$\sqrt{3}$，2，0），F(xiàn)（$\sqrt{3}$，1，0），…（7分）
$\overrightarrow{DF}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DC}$=（0，$\frac{3}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)平面DCE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=\sqrt{3}x+\frac{3}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=\frac{3}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{3}$），…（9分）
∴點B到平面DCF的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{1}{\sqrt{4}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{20}$．…（12分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．