Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-2（n=1，2，3，…），數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a，b；
（2）若T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，證明：當(dāng)n≥2時，2S_n＞T_n+3n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）和S_n=2a_n-2可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2（n≥2），即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，再求出首項(xiàng)，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出a_n即可；由點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上可得b_n+1-b_n=2，即數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，求出b₁，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到b_n；
（2）由（1）利用等比數(shù)列和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n，T_n，代入2S_n＞T_n+3n，即證不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立，然后采用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-2，
∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2），
∵a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
則$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2（n≥2），即數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∵a₁=S₁=2a₁-2，
∴a₁=2，
∴a_n=2ⁿ；
∵點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上，
∴b_n+1-b_n=2，
∵b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（2）證明：由（1）得${S}_{n}=\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n+1}-2$，
${T}_{n}=\frac{（1+2n-1）n}{2}={n}^{2}$，
∴證明：當(dāng)n≥2時，2S_n＞T_n+3n，
即證明不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：
①當(dāng)n=2時，2ⁿ⁺²=16，n²+3n+4=14，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時不等式成立，即2^k+2＞k²+3k+4成立，
那么，當(dāng)n=k+1時，2^k+3=2•2^k+2＞2k²+6k+8．
以下只需證明2k²+6k+8≥（k+1）²+3（k+1）+4成立，
即只需證明k²+k≥0成立，
∵k≥2，
∴k²+k≥0．
∴當(dāng)n=k+1時不等式2ⁿ⁺²＞n²+3n+4（n≥2）成立．
綜合①②知原不等式成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系與等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，是中檔題．